Placer ces points. Calculer $\frac{c-a}{d-a}$ et en déduire la nature du triangle $ACD$. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. Enoncé Déterminer la nature et les éléments caractéristiques des transformations géométriques données par l'écriture complexe suivante:
$$\begin{array}{ll}
\mathbf 1. \ z\mapsto \frac 1iz&\mathbf 2. \ z\mapsto z+(2+i)\\
\mathbf 3. \ z\mapsto (1+i\sqrt 3)z+\sqrt 3(1-i)&\mathbf 4. \ z\mapsto (1+i\tan\alpha)z-i\tan\alpha, \ \alpha\in [0, \pi/2[. \end{array}$$
Enoncé Soit $a$ un nombre complexe de module 1, $z_1, \dots, z_n$ les racines de l'équation $z^n=a$. Montrer que les points du plan complexe dont
les affixes sont $(1+z_1)^n, \dots, (1+z_n)^n$ sont alignés. Nombres complexes - Lieux géométriques - 1 - Maths-cours.fr. Enoncé Montrer que le triangle de sommets $M_1(z_1)$, $M_2(z_2)$ et $M_3(z_3)$ est équilatéral si et seulement si
$$z_1^2+z_2^2+z_3^2=z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3. $$
Lieux géométriques
Enoncé Déterminer le lieu géométrique des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie
$$
\begin{array}{ll}
\mathbf{1.
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Lieu Géométrique Complexe Pour
Cela peut donc s'interpréter comme la distance entre les points M M d'affixe z z et A A d'affixe − 1 - 1. Lieu géométrique complexe gagc. De même ∣ z − i ∣ | z - i | représente la distance entre les points M M d'affixe z z et B B d'affixe i i. L'égalité ∣ z + 1 ∣ = ∣ z − i ∣ | z+1 |=| z - i | signifie donc que M ( z) M\left(z\right) est équidistant de A ( − 1) A\left( - 1\right) et de B ( i) B\left(i\right). Rappel
L'ensemble des points équidistants de A A et de B B est la médiatrice de [ A B] \left[AB\right]
L'ensemble ( E) \left(E\right) est donc la médiatrice de [ A B] \left[AB\right]
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (unité graphique: 4 cm). On considère les 3 nombres complexes non nuls deux à deux distincts,,
tels que. On désigne par,,
les points d'affixes respectives,,
et
le point d'affixe. 1) Soit. Lieu géométrique complexe dans. Démontrer que
est un imaginaire pur et en déduire que
le sont aussi. Aide méthodologique Rappel de cours Aide détaillée Solution détaillée 2) Exprimer en fonction de,,, les affixes des vecteurs
et en déduire que
est une hauteur du triangle. Justifier que
est l'orthocentre du triangle. Aide méthodologique Aide détaillée Solution détaillée 3)
est le centre de gravité du triangle; après avoir précisé son affixe, justifier l'alignement des points,,. Rappel de cours Aide méthodologique Solution détaillée 4) Dans cette question,,, ; faire la figure et placer
et. Solution détaillée
Lieu Géométrique Complexe Dans
Le nombre non nul z + 1 − i z − i \frac{ z+1 - i}{ z - i} est un imaginaire pur si et seulement si son argument vaut π 2 \frac{\pi}{2} ou − π 2 - \frac{\pi}{2} (modulo 2 π 2\pi). Or d'après le cours a r g ( z − z B z − z A) = ( A M →; B M →) \text{arg}\left(\frac{z - z_{B}}{z - z_{A}}\right)=\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right)
Remarque
Cette propriété ne s'applique que si A ≠ M A\neq M et B ≠ M B\neq M) (sinon l'angle ( A M →; B M →) \left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right) n'existe pas! ). C'est pourquoi on a traité les cas "limites" z = i z=i et z = − 1 + i z= - 1+i séparément. Nombres complexes - Un résultat de géométrie.... Le nombre z + 1 − i z − i \frac{ z+1 - i}{ z - i} est donc un imaginaire pur si et seulement si l'angle A M B ^ \widehat{AMB} est un angle droit. Or on sait que l'angle A M B ^ \widehat{AMB} est un angle droit si et seulement si M M appartient au cercle de diamètre [ A B] \left[AB\right]. L'ensemble ( E) \left(E\right) est donc le cercle de diamètre [ A B] \left[AB\right] privé du point A A (mais on conserve le point B B).
Sommaire
Introduction
Ce cours fait partie d'un ensemble de cours sur les nombres complexes:
une introduction:
Nombres complexes (introduction),
deux cours qui recouvrent le programme de l'option "Mathématiques expertes" de classe terminale: celui-ci et
un
autre sur les équations
en cours d'élaboration,
le cours
Géométrie du plan complexe
qui décrit les isométries et les similitudes du plan complexe
avec exercices et figures. Prérequis
Pour vous assurer de vos connaissances de base sur les nombres complexes,
consultez le cours WIMS
Nombres complexes (introduction)
et testez-vous sur les exercices. Plus précisément, avant d'aborder la partie calcul algébrique, vérifiez
que vous avez acquis les notions et les méthodes de la partie 2. Avant d'aborder la partie trigonométrie,
vérifiez que vous avez acquis les notions et les méthodes de la partie 3. Pour la partie géométrique,
travaillez les parties 1 et 4. Complexe et lieu géométrique. Ensuite vous pourrez poursuivre votre étude. Calcul algébrique
Formule du binôme de Newton
Équations linéaires
Pour compléter l'étude des équations à coefficients complexes, étudiez le cours
Nombres complexes (équations).
Lieu Géométrique Complexe Gagc
Démontrer que les droites $(AQ)$, $(BR)$ et $(CP)$ sont concourantes. Enoncé Soient $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés d'affixe $a$, $b$ et $c$. On note $j=e^{2i\pi/3}$. Montrer que le triangle $ABC$ est équilatéral direct si et seulement si $a+bj+cj^2=0$. On ne suppose pas nécessairement que $ABC$ est équilatéral. On construit à partir de $ABC$ les trois triangles équilatéraux de base $AB$, $AC$ et $BC$ construits à l'extérieur du premier. Montrer que les centres de gravité de ces trois triangles forme un triangle équilatéral. Lieu géométrique complexe pour. Consulter aussi
Bonsoir à tous, j'ai un dm à rendre pour la semaine prochaine et je bloque sur certaines questions d'un exercice, voici l'énoncé:
On considère l'application f qui, à tout nombre complexe z différent de 1, associe le nombre complexe:
f(z): (2-iz)/(1-z)
L'exercice étudie quelques propriétés de f. On a A(1) et B(-2i)
1. On pose z = x + iy, avec x et y réels
Ecrire f(z) sous forme algébrique. Ici je trouve: (2-2x+y)/((1-x)²+y²)+ (2y-x+x²+y²)/((1-x)²+y²)i
Puis on demande d'en déduire l'ensemble des points M d'affixe z tels que f(z) soit un réel et représenter cet ensemble
Pour cela j'ai résolu (2y-x+x²+y²)/((1-x)²+y²)i = 0
donc (1-x)²+y² doit être différent de 0
et on a donc y²+2y-x+x²=0, je trouve donc l'équation d'un cercle de centre de coordonnées (-1;1/2) et de rayon V5/2
Mais après je ne sais pas quoi dire pour l'ensemble des points M et comment le représenter
2. On pose z'=f(z)
a. Vérifier que i n'a pas d'antécédent par f et exprimer, pour z' différent de i, z en fonction de z'
==> je trouve 2=i donc pas d'antécédent par f, et z = (z'-2)/(z'-i)
b. M est le point d'affixe z ( z différent de 1) et M' celui d'affixe z' (z' différent de i)
Montrer que: OM = M'C/M'D
où C et D sont les points d'affixes respectives 2 et i.
j'ai traduit cela par OM = z - zo = (z'-2)/(z'-i) = CM'/DM' = M'C/M'D
Cela est-ce correct?
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